Аксиомы стереометрии и их следствия

**Доказательство.**
По Аксиоме 1 найдётся плоскость $\beta \neq \alpha$.
1. Если $\alpha \cap \beta = \emptyset$, то любая точка плоскости $\beta$ не принадлежит $\alpha$.
2. Если $\alpha \cap \beta = l$, то любая точка плоскости $\beta$, не лежащая на прямой $l$, не принадлежит $\alpha$.

Так как по планиметрии в плоскости $\beta$ существует бесконечно много точек, не лежащих на прямой $l$, вне плоскости $\alpha$ лежит бесконечно много точек.

**Доказательство.**
Пусть даны две различные точки $A$ и $B$.
- **Существование:** По Аксиоме 1 выберем плоскость $\alpha$, содержащую точки $A$ и $B$. В этой плоскости по аксиомам планиметрии через $A$ и $B$ проходит прямая $l$.
- **Единственность:** Из аксиом планиметрии следует, что в любой плоскости через две точки проходит ровно одна прямая.

**Доказательство.**
Докажем от противного. Пусть прямая $l$ не лежит в плоскости $\alpha$, но имеет с ней хотя бы две общие точки $A$ и $B$.
Так как $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$, то по Аксиоме 3 вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$. Это противоречит условию, что $l$ не лежит в $\alpha$.
Следовательно, прямая либо вовсе не пересекает плоскость, либо пересекает её ровно в одной точке.

**Доказательство.**
Даны прямая $l$ и точка $M \notin l$.
- **Существование:** Выберем на прямой $l$ две различные точки $A$ и $B$. Так как $M \notin l$, точки $A, B, M$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме 2 через них проходит единственная плоскость $\alpha$. Точки $A, B \in \alpha$, следовательно, по Аксиоме 3 прямая $l$ целиком лежит в $\alpha$. Значит, плоскость $\alpha$ проходит через $l$ и $M$.
- **Единственность:** Всякая плоскость, содержащая прямую $l$ и точку $M$, содержит точки $A, B \in l$ и $M$. По Аксиоме 2 такая плоскость единственна.